oder: The excess 18 arithmetic
The score (after 0 games) is: HaveFun 0, bert 3 (match to 25 points)
Move number 6: bert on roll, cube decision?
• bert doubles
Wir haben gezählt, dass Blau 19 Abtrager hat und Weiß 23. Als nächstes, bevor wir ernsthaft über die match equities in 25-Punkte-Matches nachdenken, fragen wir uns vielleicht: Ist das eigentlich ein Doppel für $, und wenn ja, wie deutlich. Ok, kein Problem, für ND ist die
Equity 19/36*4+17/36*(23/36*(-4)+13/36*4), für D ist sie 19/36*8+17/36*(23/36*(-16)+13/36*16). Schön und gut, aber wer kann das am Brett herleiten, ausrechnen und vergleichen ohne nervös zu werden?
Die "Excess 18 arithmetic" habe ich von Dorbel
http://www.gammonvillage.com/backgammon/magazine/article_display.cfm?resourceid=3499 gelernt, sie ist wohl bei Danny Kleinman zuerst beschrieben worden.
Sie beruht auf zwei eigentlich sehr einfachen Prinzipien:
1. Bei späten Bearoffs bietet es sich an, nicht direkt in Equities zu denken, also krummen Zahlen irgendwo zwischen dem negativen Cubewert und dem positiven, sondern in der Zahl der gewinnenden Würfe (nennen wir es ZGW), also irgendwas von 0 bis 36.
2. In einer gegebenen Stellung den Dopplerwert zu erhöhen ist gleichbedeutend mit einer Verdopplung der Equity oder einer Erhöhung des ZGWs um den Überschuss über 18. D.h., eine Stellung mit ZGW=21 ist soviel wert wie eine Stellung mit ZGW = 21+(21-18) = 24 auf einem Dopplerlevel niedriger.
Was sagt uns das? Fangen wir erstmal mit dem einfachen Beispiel an, dass Dorbel in seiner Kolumne gibt: Beide Spieler haben je 2 Steine auf der Zwei. Spieler 1 am Wurf doppelt, kann Spieler 2 nehmen?
Wir finden rasend schnell raus, dass beide Spieler je 26 (=2*(0+1+2+3+4)+6) gute Würfe haben. Bei einem Cubeful ZGW von 27 (entspricht equity = 0.5 oder game winning chances von 75%) muss Spieler 2 passen.
Wir nehmen zunächst an, dass Spieler 2 nimmt und noch einmal dran kommt. Offensichtlich hat er dann ein starkes Redouble, welches Spieler 1 nehmen muss. Spieler 2 hat vor dem Doppel ZGW=26, das entspricht nach dem Doppel ZGW=26+8=34. Das ist also wertmäßig das gleiche, als wenn Spieler 2, wenn er noch mal drankommt, nur 2 von 36 Spielen verlieren würde. Diese Erkenntnis setzen wir nun für die Stellung im Wurf davor ein:
Spieler 1 gewinnt 26 Spiele direkt, und von den übrigen 10 Spielen gewinnt er 10*2/36 < 1, also ist sein GWZ insgesamt < 27 und Spieler 2 hat einen knappen Take.
Als nächstes Beispiel berechnen wir die gleiche Situation, nur dass Spieler 2 einen Stein auf der Zwei und einen auf der Drei hat. Dann hat er nur noch 25 gute Würfe, ZGW nach Doppel ist 25+7=32=36-4. ZGW von Spieler 1 ist 26+10*4/36 ist größer als 27, also ein knapper Drop.
Nun zu Martins Position. Wir berechen Martins (berts) ZGW für $-Game, einmal für Double und einmal für No-Double.
Double:
Wir fangen wieder einen Zug später an zu analysieren und nehmen an, dass Martin nicht direkt gewonnen hat (den Fall, dass Martin nur eine 21 gewürfelt hat und damit nicht zwingend im nächsten Wurf fertig wird, können wir mit den anderen Fehlwürfen zusammen betrachten, weil Martin Cubebesitz haben wird und damit seinen Gegner ausdoppeln kann). Dann hat sein Gegner 23 Gewinner und ein D/T. Sein ZGW ist dann 23+5=28=36-8. Damit gehen wir einen Zug zurück und stellen fest, dass Martin 19 Spiele direkt gewinnt und von den übrigen zusätzlich 8/36*17, also insgesamt ungefähr 22.8. Durch das Doppel steigt der ZGW auf 22.8+4.8=27.6.
No Double:
Wenn Martins Gegner noch einmal dran kommt, hat er 23 gute Würfe, aber keinen Cubebesitz, also bleibt es bei ZGW=23=36-13.
Martins ZGW ist also 19+13/36*17, ungefähr 25.2. Da dies erheblich kleiner ist als 27.6, ist ein No-Double ein Blunder.
